Решить неравенство – это значит найти все его решения.
Решением неравенства с одной переменной называют множество таких значений переменной, при которых данное неравенство верно.
Алгоритм решения.
Раскрыть скобки, если они имеются. Слагаемые с переменной записать в левой части неравенства, а свободные члены – в правой. При переносе слагаемого из одной части неравенства в другую меняем его знак на противоположный. Привести подобные слагаемые в левой и правой частях неравенства. Разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Изобразить полученные решения неравенства на координатной прямой. Записать решения в виде числового промежутка.
При задании найти наименьшее целое решение неравенства выписываем крайнее левое целое число из полученного промежутка.
При задании найти наибольшее целое решение неравенства выписываем крайнее правое целое число из полученного промежутка.
Пример 1.
а) Решить неравенство 3x-15<0.
б) Указать наибольшее целое решение.
Решение. а) Перенесём слагаемое, не содержащее переменную в правую часть неравенства, поменяв его знак на противоположный. Получим 3x<15
Разделим обе части неравенства на коэффициент при переменной. 3x<15 |:3.
Получим x<5. Изобразим решение неравенства на числовой прямой. Так как неравенство строгое, то точка, соответствующая числу 5 будет выколотой на чертеже.
Записываем решение в виде числового промежутка. (-∞; 5).
б) Неравенство строгое, поэтому число 5 не является его решением, следовательно, наибольшим целым решением будет число 4.
Ответ: а) (-∞; 5); б) 4.
Пример 2.
а) Решить неравенство 6 + 2x ≥ 7х.
б) Указать наибольшее целое решение.
Решение. а) Соберём слагаемые, содержащие х в левой части неравенства, а число 6 перенесём в правую часть. При переносе слагаемого не забываем менять его знак на противоположный.
Получаем 2х -7х ≥ -6.
Приводим подобные слагаемые в левой части неравенства.
-5х ≥ -6. Делим обе части неравенства на (-5). При этом меняются не только знаки левой и правой частей неравенства, но и знак самого неравенства.
-5х ≥ -6 |:(-5) → x ≤ 1,2. Изобразим решение неравенства на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое, то значение 1,2 является его решением (точка на чертеже закрашенная).
Записываем решение в виде числового промежутка. (-∞; 1,2].
б) Наибольшее целое решение — это число 1.
Ответ: а) (-∞; 1,2]; б) 1.
Пример 3.
а) Решить неравенство 2(x -7,5)+3 ≤ 5 -4(11+2х).
б) Указать наибольшее целое решение.
Решение. а) Раскрываем скобки.
2х-15+3 ≤ 5 -44 -8х; собираем слагаемые с переменной в левой части неравенства, а свободные числа – в правой.
2х+8х ≤ 5 -44+15 -3. Приведём подобные слагаемые в обеих частях неравенства.
10х ≤ -27. Делим обе части неравенства на 10.
10х ≤ -27 |:10 → x ≤ -2,7. Изобразим решение неравенства на числовой прямой. Точка, соответствующая числу (-2,7), на чертеже закрашена, так неравенство нестрогое.
Записываем решение в виде числового промежутка. (-∞; -2,7].
б) Наибольшее целое решение — это число -3.
Ответ: а) (-∞; -2,7]; б) -3.
Пример 4.
б) Указать наименьшее целое решение.
Решение.
Умножим обе части данного неравенства на 6 (наименьший общий знаменатель дробей) и получим:
3(3х-1)+2(5-х) < 12x. Раскроем скобки.
9х-3+10-2х< 12x. Соберём слагаемые, содержащие переменную в левой части неравенства, а свободные члены – в правой.
9х-2х-12х < 3-10. Приведём подобные слагаемые.
-5х < -7. Делим обе части неравенства на (-5) – отрицательное число, поэтому меняем и знак самого неравенства на противоположный.
Получаем х > 1,4. Изобразим на числовой прямой все значения переменной х, которые удовлетворяют последнему неравенству.
Записываем решение в виде числового промежутка. (1,4; +∞).
б) Наименьшее целое решение — это число 2.
Ответ: а) (1,4; +∞); б) 2.
Пример 5.
б) Указать наименьшее целое решение.
Решение.
Умножим обе части данного неравенства на 20 (наименьший общий знаменатель дробей) и получим:
5(6х-5) ≥ 4(3х+2,75). Раскроем скобки.
30х-25 ≥ 12х+11. Соберём слагаемые, содержащие переменную в левой части неравенства, а свободные члены – в правой.
30х-12х ≥ 11+25. Приведём подобные слагаемые.
18х ≥ 36. Делим обе части неравенства на 18.
Получаем х ≥ 2. Изобразим на числовой прямой значения переменной х, удовлетворяющие последнему неравенству.
Записываем решение в виде числового промежутка. [2; +∞).
б) Наименьшее целое решение — это число 2.
Ответ: а) [2; +∞); б) 2.
Выполните интерактивное задание.
