Геометрия. 8 класс. Глава VII. Параграф 3. Тест 1.
Вариант I.
1. Найти высоту прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, если она делит гипотенузу на отрезки 25 см и 81 см.
A) 70 см; B) 55 см; C) 53 см; D) 45 см.
2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит гипотенузу на отрезки 9 и 36. Определить длину этой высоты.
A) 22,5; B) 19; C) 18; D) 12.
4. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 22, проекция одного из катетов равна 16. Найти проекцию другого катета.
A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32.
5. Катет прямоугольного треугольника равен 18, а его проекция на гипотенузу 12. Найти гипотенузу.
A) 25; B) 24; C) 27; D) 26.
6. Гипотенуза равна 32. Найти катет, проекция которого на гипотенузу равна 2.
A) 8; B) 7; C) 6; D) 5.
7. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 45. Найти катет, проекция которого на гипотенузу равна 9.
8. Катет прямоугольного треугольника равен 30. Найти расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы, если радиус описанной около этого треугольника окружности равен 17.
A) 17; B) 16; C) 15; D) 14.
10. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41, а проекция одного из катетов 16. Найти длину высоты, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе.
A) 15; B) 18; C) 20; D) 16.
A) 80; B) 72; C) 64; D) 81.
12. Разность проекций катетов на гипотенузу равна 15, а расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы равно 4. Найти радиус описанной окружности.
A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5.
Вариант II.
1. Найти высоту прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, если она делит гипотенузу на отрезки 4 см и 9 см.
A) 7 см; B) 6 см; C) 5 см; D) 8 см.
2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит гипотенузу на отрезки 2 и 32. Определить длину этой высоты.
A) 8; B) 9; C) 8,5; D) 7.
Найти высоту, проведённую из вершины прямого угла.
A) 5 см;B) 6 см; C) 9 см; D) 7 см.
4. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 14, проекция одного из катетов равна 8. Найти проекцию другого катета.
A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32.
5. Катет прямоугольного треугольника равен 15, а его проекция на гипотенузу 10. Найти гипотенузу.
A) 23,5; B) 22,5; C) 24; D) 21,5.
6. Гипотенуза равна 27. Найти катет, проекция которого на гипотенузу равна 3.
A) 8; B) 9; C) 6; D) 7.
7. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 75. Найти катет, проекция которого на гипотенузу равна 12.
A) 30; B) 27; C) 28; D) 24.
8. Катет прямоугольного треугольника равен 8. Найти расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы, если радиус описанной около этого треугольника окружности равен 8,5.
A) 2,7; B) 3,6; C) 4,2; D) 5,4.
10. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26, а проекция одного из катетов 8. Найти длину высоты, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе.
A) 12; B) 13; C) 14; D) 15.
A) 30; B) 32; C) 28; D) 36.
12. Разность проекций катетов на гипотенузу равна 8, а расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы равно 3. Найти радиус описанной окружности.
A) 5,5; B) 5; C) 6; D) 6,5.
Справочные материалы.
В Δ АВС ∠АСВ = 90°. АС и ВС — катеты, АВ — гипотенуза.
CD — высота треугольника, проведенная к гипотенузе.
AD — проекция катета АС на гипотенузу,
BD — проекция катета ВС на гипотенузу.
Высота CD делит треугольник АВС на два подобных ему (и друг другу) треугольника: ΔADC и ΔCDB.
Из пропорциональности сторон подобных ΔADC и ΔCDB следует:
AD : CD = CD : BD. Отсюда CD2 = AD ∙ BD. Говорят: высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу.
Из подобия ΔADC и ΔАCB следует:
AD : AC = AC : AB. Отсюда AC2 = AB ∙ AD. Говорят: каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией данного катета на гипотенузу.
Аналогично, из подобия ΔСDВ и ΔАCB следует:
BD : BC = BC : AB. Отсюда BC2 = AB ∙ BD.
